Probabilités...

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Pancrace
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Re: Probabilités...

#301

Message par Pancrace » 06 juin 2019, 20:33

Salut Denis,

Tu dis :
Il y a (risque de)* confusion entre "possible" en théorie des probabilités et "possible" en théorie des ensembles.
* parenthèse ajoutée par Pancrace.

C’est vrai. Ce qu’on entend généralement par « possible » est grosso-modo une construction réalisable à partir d’une théorie donnée. Donc effectivement ça dépend de la théorie dans laquelle on évolue. Par exemple construire un triangle avec somme des angles différente de 180° est « impossible » en géométrie euclidienne, mais « possible » en géométrie elliptique ou hyperbolique (bien entendu tu sais tout ça, je détaille si jamais on a des lecteurs éventuellement moins affutés !).

Dans ma réponse "oui" à la question plus haut, je me suis placé (sans le dire il est vrai) en théorie des ensembles, parce que pour prouver la « possibilité » évoquée, on a besoin d’un modèle mathématique simple, strictement équivalent. En théorie des probabilités, tu as raison il me semble de dire qu’un tel modèle n’existe pas car il est impossible de construire une fonction probabiliste qui mime l’assertion. Mais en théorie des ensembles c’est ultra facile, avec simplement une fonction constante de N dans un ensemble à 2 éléments, qui est une traduction théorique fidèle de l’expérience.

De plus, se placer dans ce cadre ensembliste n’est pas outrageux en ce qui concerne le contexte. Par exemple lorsqu’on étudie les suites aléatoires (et notamment la compression de l’information que tu as déjà évoquée sur ce fil), la notion de suite utilisée est celle ensembliste, bien qu’il s’agisse plus d’un problème qui concerne les probas. En particulier, on peut voir « une pièce non truquée retombant une infinité de fois en suivant sur pile » comme une brave suite (non aléatoire bien sûr !) qui vaut toujours p à chaque cran. C’est donc quelque chose de « possible » en théorie des ensembles puisqu’on vient de la formaliser.

Concernant la suite de ton message, je crains de ne pas être compétent pour une discussion de haute volée sur les finesses entre variables aléatoires discrètes et continues. Je sais juste qu’il y a des difficultés avec notamment la mesure de Lebesgue et les tribus boréliennes, mais sans avoir eu l’occasion de vraiment creuser (j’ai arrêté les probas à la fin du cursus obligatoire de maths, quatrième année post bac en France).

Tiens je profite finalement de ce post un peu technique pour donner la solution de la question 2 : en moyenne on doit lancer combien de fois une pièce équilibrée pour voir apparaître le premier pile ?

Ca sera 1 fois avec probabilité 1/2 (cas où on a P d’entrée de jeu). Puis 2 fois avec la configuration FP, de probabilité 1/4. Puis 3 fois avec la configuration FFP, de probabilité 1/8. En continuant ainsi ça sera N fois avec une configuration FFF…FP de probabilité \(\frac 1 {2^N}\), pour chaque N entier positif. Donc la moyenne (l’espérance de la variable aléatoire discrète associée), est la somme infinie : \(\sum_{N=1}^\infty \frac N {2^N}\). Pour la calculer, le plus simple est de passer « au continu » par la formule bien connue \(\sum_{N=0}^\infty x^N = \frac 1 {1-x}\), valable lorsque la valeur absolue de x réel est strictement plus petite que 1. On dérive ensuite de chaque côté (en justifiant qu'à gauche on peut intervertir dérivation et somme infinie), on multiple par x de chaque côté pour avoir la bonne puissance, puis finalement on pose x=1/2. Je passe les détails, la réponse à la question est 2.

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Re: Probabilités...

#302

Message par Vathar » 06 juin 2019, 21:15

Curieux_ a écrit :
06 juin 2019, 18:09
Vous êtes des dingues ! :mrgreen: :D

J'imaginais un simulateur de lancer de pièce.

Si on arrivait à calculer le poids de la pièce, le nombre de ses oscillations, le nombres de tours qu'elle ferait sur elle-même en étant projeté à une certaine vitesse, il serait sûrement possible de trouver un moyen qu'elle retombe toujours sur la même face ?
C'est possible ou réalisable ce genre de calculs ?
Réponse courte, non.

Tu es dans le cas d'un système chaotique déterministe qui est soumis à une grande sensibilité aux conditions initiales. Sans parler des contraintes physiques pénibles à modéliser telles que le rebond, une imprécision infime dans les conditions de lancer initiales suffit pour rendre imprédictible le résultat final.

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Re: Probabilités...

#303

Message par Cadenas » 06 juin 2019, 22:31

Curieux_ a écrit :
06 juin 2019, 18:09
Si on arrivait à calculer le poids de la pièce, le nombre de ses oscillations, le nombres de tours qu'elle ferait sur elle-même en étant projeté à une certaine vitesse, il serait sûrement possible de trouver un moyen qu'elle retombe toujours sur la même face ?
Il y a des méthodes plus simples. D'ailleurs cet exemple est intéressant car il montre que le résultat peut être truqué sans que la pièce ne le soit. ;)

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Avec un peu de recul...

#304

Message par Denis » 06 juin 2019, 22:54


Salut Pancrace,

Je pense qu'on voit mieux où nos approches (probabiliste ou ensembliste) se rencontrent et se séparent. Tant mieux.

Avec un peu de recul, c'est plus clair :

Image

En fait, c'est un peu plus compliqué que ça, si on inclut l'approche pratique, soutenue par quelques participants.

Avec un peu de recul, on est plutôt dans un cas de ce type :

Image

:) Denis
Les meilleures sorties de route sont celles qui font le moins de tonneaux.

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Re: Probabilités...

#305

Message par spin-up » 07 juin 2019, 03:28

Curieux_ a écrit :
06 juin 2019, 18:09
J'imaginais un simulateur de lancer de pièce.

Si on arrivait à calculer le poids de la pièce, le nombre de ses oscillations, le nombres de tours qu'elle ferait sur elle-même en étant projeté à une certaine vitesse, il serait sûrement possible de trouver un moyen qu'elle retombe toujours sur la même face ?
C'est possible ou réalisable ce genre de calculs ?
Pas seulement en simulation,
En fait il n'y a pas besoin de calculs. Il suffit de lancer exactement de la meme facon a chaque lancer. Impossible pour un humain, mais possible avec une machine.
https://www.npr.org/templates/story/sto ... 9892193108
Vathar a écrit :
06 juin 2019, 21:15
Réponse courte, non.

Tu es dans le cas d'un système chaotique déterministe qui est soumis à une grande sensibilité aux conditions initiales. Sans parler des contraintes physiques pénibles à modéliser telles que le rebond, une imprécision infime dans les conditions de lancer initiales suffit pour rendre imprédictible le résultat final.
Un lancer de pièce n'est pas si chaotique que ca, la variabilité est principalement dans le facteur humain. Donc un simulateur n'aurait pas grand interet, il serait obligé d'ajouter une variable aleatoire dans le lancer pour introduire de la variance.

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Vathar
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Re: Probabilités...

#306

Message par Vathar » 07 juin 2019, 05:24

spin-up a écrit :
07 juin 2019, 03:28
Un lancer de pièce n'est pas si chaotique que ca, la variabilité est principalement dans le facteur humain. Donc un simulateur n'aurait pas grand interet, il serait obligé d'ajouter une variable aleatoire dans le lancer pour introduire de la variance.
Oui et non. J'avais lu cette étude lors d'une précédente discussion sur le chaos déterministe sur ce meme forum, et cette machine pouvait fournir pile sur demande, mais dans des conditions relativement simples et avec un nombre de rotations faibles.

Tu trouveras une interview du professeur Diaconis (l'auteur de cette étude) sur numberphile, ou il explique qu'on peut définir le nombre de rotations sur un graphique en combinant vitesse de rotation et vitesse de translations (logique) et que ces zones se compressent plus les vitesses augmentent. Il est possible de construire une machine qui donne un résultat prévisible avec un nombre faible de rotations, mais ca se complique très vite avec les lancers vraiment vigoureux.

Accessoirement, il est amusant de voir qu'en partant des conclusions de ce professeur, qui mentionne un biais d'1% de conservation de la face initiale pour un lancer humain (face dans ta main produit un résultat de face en fin de tirage), gizmodo écrit allègrement "when people flip a coin, it will usually come up the way it starts". :ouch:

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Re: Probabilités...

#307

Message par MaisBienSur » 07 juin 2019, 09:12

J'ai trop de retard donc je n'ai pas tout lu, mais vous parliez de roulette un peu plus tôt et donc de miser sur rouge ou noir.
Ce n'est pas une chance sur deux sachant que le zéro et le double zéro (éventuel) ne sont ni noir ni rouge ni pair ni impaire ni passe ni manque...

Ce qui laisse toujours une proba de plus pour le casino :a4:

De toute façon, le casino empoche en plus les pourboires lorsqu'un joueur gagnant se montre généreux ! Il est interdit au personnel (en France) d'empocher directement les pourboires. Ils servent de base pour payer les salariés. (et le directeur !)
Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier d'alu.

Avant, j'étais indécis, maintenant je n'en suis plus très sûr...

Les marmottes qui pissent au lit passent un sale hiver (Philippe Vuillemin)

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Re: Probabilités...

#308

Message par Vathar » 07 juin 2019, 09:32

MaisBienSur a écrit :
07 juin 2019, 09:12
J'ai trop de retard donc je n'ai pas tout lu, mais vous parliez de roulette un peu plus tôt et donc de miser sur rouge ou noir.
Ce n'est pas une chance sur deux sachant que le zéro et le double zéro (éventuel) ne sont ni noir ni rouge ni pair ni impaire ni passe ni manque...

Ce qui laisse toujours une proba de plus pour le casino :a4:
Toutafé. J'ai passé sur ce détail mais à ma connaissance, tous les jeux de Casino sont conçus pour donner être à l'avantage du Casino ("the house always wins"). Cet avantage est par ailleurs assez faible sur une roulette à un zéro (2.7%)

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Re: Probabilités...

#309

Message par curieux » 08 juin 2019, 03:43

MaisBienSur a écrit :
07 juin 2019, 09:12
J'ai trop de retard donc je n'ai pas tout lu, mais vous parliez de roulette un peu plus tôt et donc de miser sur rouge ou noir.
Ce n'est pas une chance sur deux sachant que le zéro et le double zéro (éventuel) ne sont ni noir ni rouge ni pair ni impaire ni passe ni manque...
C'est quand même une chance sur deux parce que 'zero' correspond à perdre sa mise quelle que soit le pari.
Malgré tout, peu de joueurs le savent mais en casinos français, dans le cas des chances simples un tirage à 'zero' ne fait perdre que la moitié de la mise (il reprend la moitié de sa mise) s'il désire que sa mise ne reste pas en prison en attente du coup suivant.
Cela minimise les gains mais peut servir de petite consolation.

Laisser sa mise en prison pour le coup suivant est un peu risqué parce que si le "zéro" ressort encore alors le croupier ramasse tout.
Autrement dit dans une suite du genre N, N, N, 0, 0 avec 5 fois 'rouge' en sortie, c'est plié, perte sèche, on redémarre un autre jeu.
En fait, à long terme n'importe quelle martingale occasionnera une faillite du joueur.
Le rôle de la physique mathématique est de bien poser les questions, ce n'est que l'expérience qui peut les résoudre. [Henri Poincaré]

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Re: Probabilités...

#310

Message par Lulu Cypher » 21 juin 2019, 19:10

La meilleure façon de gagner de l'argent avec une martingale est de trouver au moins un pigeon à qui la vendre ;)

Et Dieu dit : « que Darwin soit »
------------------------------
Les animaux sont moins intolérants que nous : un cochon affamé mangera du musulman (P. Desproges)
------------------------------
Attention ce post est susceptible (lui-aussi) de contenir des traces d'humour. L'auteur tient à signaler qu'il décline toute responsabilité quant aux conséquences de leurs mésinterprétations.

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Re: Probabilités...

#311

Message par curieux » 25 juin 2019, 12:17

L'autre meilleur moyen est d'ouvrir un casino.
Tant qu'il y aura des joueurs persuadés de tenir la bonne méthode alors ils seront rentables.
Après il y a les autres qui ne sont là que pour s'amuser à dépenser leur fric.
Le rôle de la physique mathématique est de bien poser les questions, ce n'est que l'expérience qui peut les résoudre. [Henri Poincaré]

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Re: Probabilités...

#312

Message par Etienne Beauman » 16 août 2019, 07:31

Yop !
spin-up a écrit :
06 juin 2019, 08:16
Etienne Beauman a écrit :
06 juin 2019, 07:10
Quand j'appuie sur mon nez :
des fois mes oreilles deviennent bleues.
des fois je m’envole.
des fois rien ne se passe.
SI tu penses que ce n'est pas le réel, mets ce modèle en défaut avec une expérience.
Tu confonds modèle et predictions du modèle.

Le modèle de la piece c'est qu'elle a une chance sur deux de tomber sur pile a chaque tirage.
La prédiction c'est qu'on a 1/2^1000 chances de voir 1000 piles pour 1000 lancers.
Désolé, on est pas d'accord. Les prédictions d'un modèle font partie du modèle.

Quand une observation confirme une prédiction du modèle, le modèle est renforcé.
Quand une observation infirme une prédiction du modèle, le modèle est légitiment questionné. (ça ne suffit pas à le déclarer erroné, mais on ne peut pas nier l'observation contradictoire avec celui ci.)

Tout le problème est là.
Tu prétends en même temps :
  • Qu'il est possible qu'une pièce non truquée puisse tomber mille fois de suite sur pile car le modèle le dit.
  • Qu'il est impossible d'observer une pièce non truquée tomber mille fois de suite sur pile.
C'est contradictoire, un modèle doit faire des prédictions observables, sinon il sert à rien.

Tout ce que tu peux dire c'est que pour les tirages "à taille humaine" la réalité se comporte très précisément comme le modèle le prédit.
Ça ne veut pas dire que le modèle est la description fidèle de la réalité et que tout ce qu'il prédit est avéré.
Pour savoir s'il est possible qu'une pièce non truquée tombe mille fois sur pile successivement, il n'y a pas d'autre méthode que d'observer au moins une pièce le faire.
La prédiction du modèle n'est pas une garantie.

Tout le monde est d'accord pour dire qu'il est impossible d'observer une telle pièce.
Le modèle prédit donc un fait inobservable, c'est de la métaphysique.


Monsieur phi a fait une série de vidéo qui traite des ses enjeux.
Au royaume des cyclopes, les borgnes sont aveugles.
Is this a discussion?

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Re: Probabilités...

#313

Message par spin-up » 16 août 2019, 18:06

Etienne Beauman a écrit :
16 août 2019, 07:31
Désolé, on est pas d'accord.
Ouaip.

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